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      Disgraziatamente non pervennero insino a noi i particolari del calcolo ch'egli dovette istituire per giungere al risultato del quale, certamente per volontà propria, non spinse ulteriormente l'approssimazione; e, se noi non andiamo errati, è questo il primo esempio di un problema risoluto per approssimazione, esempio così utile e così di sovente messo a profitto tanto nel calcolo algebrico come nelle costruzioni geometriche.
      Brevi parole crediamo ancora dover adoperare circa il metodo usato in tale occasione, che non è altro se non il cosiddetto metodo di esaustione, del quale, secondo quanto narra Simplicio, avrebbe già fatto uso Antifonte nel secolo quinto avanti Cristo, e che fu sistematicamente adoperato da Eudosso nel secolo successivo. Questo metodo di esaustione consiste nel risguardare la grandezza data, p. e. l'area d'una curva, come il limite a cui si avvicinano sempre maggiormente dei poligoni inscritti e circoscritti, dei quali si moltiplica per via di bisezione il numero dei lati, in modo che la differenza si esaurisca, si riduca cioè ad essere più piccola di qualsiasi quantità data. Tale ravvicinamento continuo tra i poligoni e la curva somministrava un'idea sempre più precisa di questa, e con la guida della legge di continuità conduce alla conoscenza delle proprietà cercate, salvo poi di dimostrare in seguito rigorosamente i risultati ottenuti con la riduzione all'assurdo. Si è detto e ripetuto che gli antichi avevano considerate le curve come poligoni infinitilateri; nulla di meno vero, perchè questo principio non si riscontra mai nei loro scritti, e d'altronde non avrebbe potuto contribuire al rigore delle loro dimostrazioni: i moderni bensì l'hanno introdotto, semplificando tanto notevolmente le antiche dimostrazioni, e questa felice idea costituì il passaggio dal metodo di esaustione al metodo infinitesimale.


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Archimede
di Antonio Favaro
Formiggini Editore Roma
1923 pagine 63

   





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