Possiamo anzi precisare che a tali lezioni fornirono argomento l'uso del compasso geometrico e militare, le fortificazioni, gli Elementi di Euclide, la prospettiva, la meccanica, la sfera, l'aritmetica e la gnomonica, più frequentemente le prime, più di rado le ultime; e per alcune tra esse stese egli anco trattati che giunsero fino a noi, e dei quali cedeva ai suoi uditori copie fatte trascrivere da un amanuense che a tal fine tenne per qualche tempo presso di sè.
      Non tanto per la intrinseca importanza, quanto per un celebre dibattito al quale diede luogo, vuolsi far particolare menzione del Compasso, dagli usi ai quali poteva servire intitolato "geometrico e militare", e, per verità, più che altro un notevole perfezionamento del "compasso di proporzione" ideato parecchi anni innanzi dal marchese Guidobaldo del Monte.
      Questo strumento, che l'invenzione dei logaritmi, avvenuta qualche tempo dopo, faceva relegare nei musei, era destinato ad agevolare una quantità di operazioni aritmetiche e geometriche con svariatissime applicazioni, e poichè di apprenderne l'uso e di possederlo erano desiderosi moltissimi tra i suoi scolari, Galileo tenne lungamente seco un meccanico dal quale insieme con altri strumenti matematici lo faceva costruire, diffuse grandemente per mezzo di copie manoscritte la relativa istruzione, e finalmente si decise a pubblicarla per le stampe, servendosi d'una tipografia piantata, a quanto pare, nella sua casa stessa. Questa è anzi la prima scrittura di lui che si abbia a stampa e fu data alla luce nel 1606.