Io tal proposta ho dimostrato in due modi: l'uno è diretto, e questo voleva V. S.; ma sebene la dimostrazione non è lunga, sono però lunghi alquanto gli apparati, e mi tengo a scrupolo di affaticar soverchiamente l'intelletto di V. S., stante (oltre le sue molte occupazioni) la disgrazia della vista. Spero bene fra non molto tempo di fargliene sentir in voce con qualche facilità; e in tanto riceva questa, assai breve e chiara.
Lemma Primo.
Sia un triangolo rettangolo ABC, di cui l'angolo retto sia B; prendasi nel lato BC qualsivoglia punto D, e tirisi la retta AD; dico, esser possibile trovar in ABC un altro triangolo simile ad ABC, il quale sia maggiore del triangolo ABD secondo qualsivoglia proporzione dentro alle estreme di ABC, ABD. Prendasi in BC il punto I, sichè BC a BI habbia minor ragione che BI a BD e sia BH terza proporzionale di BC, BI: adunque BH sarà maggiore di BD; e per il punto I tirisi la retta IL parallela ad AC, sichè termini in AB. E perchè il triangolo ABC all'altro ABD è come BC a BD; ma il triangolo ABC al simile LBI è come BC a BH; sarà il triangolo LBI maggiore dell'altro ABD: e così in qualsivoglia data proporzione, come sopra, si potrà fare il triangolo LBI maggiore dell'altro ABD.
Corollario. Di qui raccogliesi, che se il triangolo rettangolo ABD habbia la altezza AB che sia eguale al semidiametro d'un cerchio, ma la base BD minore della periferia del cerchio medesimo, potrà trovarsi un triangolo rettangolo LBI simile ad un altro ABC, il quale habbia l'altezza eguale al semidiametro e la base eguale alla periferia d'un dato cerchio, e tal triangolo LBI potrà esser maggiore dell'altro ABD. A questo triangolo poi LBI sarà, per la prima del 6°, eguale un regolar poligono descritto nel cerchio; imperochè la base sua e l'altezza è minore della periferia e del semidiametro del cerchio.
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