Le due prime sono manifestissime, e la terza si prova assai facilmente così. Per definizione (13. IV. 6a), è perpendicolare all'orizzonte (AB, A'B', A"B") la retta (OZ, O'Z', O"Z") intercetta fra noi e lo zenit; lo è parimenti quella (OC, O'C, O"C), intercetta fra noi e il centro della Terra: perchè il raggio, come insegnano i Geometri, è perpendicolare al piano che tocca la sfera nel punto, ove esso raggio perviene. Ma due rette, le quali abbiano un punto comune, sieno normali ad un piano, e giacciano l'una sopra l'altra sotto a questo stesso piano, sono evidentemente per dritto, cioè, formano una retta sola (OZ+OC = CZ, O'Z'+O'C = CZ', O"Z"+O"C = CZ"). Per conseguenza tutte le rette che, muovendo dal centro della Terra vanno al singoli zenit, corrispondenti ai diversi punti di superficie Terrestre, sono uguali fra loro. Ma di questi zenit se ne ritrovano in tutti i punti del Cielo. Dunque il Cielo è una sfera, che à per centro il centro stesso della Terra.
      [vedi figura 009.gif]II. DEFINIZIONI.
      1°. Il Cielo si denomina sfera celeste, ed anche sfera stellata.
      2°. Il centro della Terra si considera e chiama centro dell'Universo.
      3°. A precisare la posizione di un astro, si immagina un piano geometrico (fig. 9.) che passi per zenit (Z), per nadir (n) e per l'astro (A). Poichè il Cielo è una sfera (EnOZAVn), quel piano determina su questa un circolo (AVnZ). Or questo è detto circolo verticale.
      4°. L'arco (AV) di circolo verticale, intercetto fra l'astro (A) e l'orizzonte (SONE), è nominato altezza dell'astro.