Dimostrazione. KA (fig. 28.) rappresenti al solito lo specchio, C il centro di curvatura, L il punto lucido, ed AL l'asse relativo al detto punto L. Al punto I preso a piacere sullo specchio si mandi la retta LI, la quale indichi il raggio incidente, e, condotto il raggio geometrico CI, si faccia sul punto I l'angolo CIR=LIC. La retta IR rappresenterà il raggio riflesso, il quale traversa l'asse AL in un punto, che contrassegneremo per F. Poichè in ogni triangolo, un angolo esterno vale la somma dei due interni opposti, e però ciascun interno è uguale alla differenza fra l'esterno opposto e l'altro interno; così nel triangolo CFI l'angolo CIF =AFI-ICA; e nel triangolo CLI, sarà CIL =ICA-ILA. Ma CIF, angolo di riflessione, è uguale a CIL, angolo di incidenza; vi sarà dunque uguaglianza anche fra i loro valori, ossia fra i secondi membri delle due soprascritte equazioni. Perciò potremo stabilire AFI-ICA=ICA-ILA; ed AFI=2ICA-ILA.
Si comprenderà facilmente che I. ad ognuno di questi angoli si può sostituire l'arco IA: II. essendo lo specchio di pochi gradi, l'arco si confonde fisicamente colla tangente trigonometrica: III. questa è esattamente uguale al seno diviso pel coseno: IV. nell'ipotesi di specchi di piccola apertura, il seno si confonde fisicamente colla misura lineare dell'arco IA, ed il coseno col raggio o AG, o AL, o AF del rispettivo circolo, a cui appartengono quei tre angoli. Poste le quali cose, l'ultima equazione si traduce nella seguente: IA/AF=2 IA/AC-IA/AL. Chiamando ora delta la AF, r la AC, e d la AL, e dividendo tutta l'equazione per IA, otterremo 1/delta = 2/r - 1/d oppure
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