Evidentemente BR (fig. 12.) è seno di alfa: come ne è coseno la BM: dunque, avremo tang. alfa = BR / BM = BR/ BQ + QM. Ora I. QM = q. II. BR = p sen. gamma. Imperocchè, nel triangolo rettangolo BQR certamente sarà BR : QR :: sen. RQB : 1. Ma QR = PM = p; RQB = PMQ = gamma. Dunque BR : p :: sen. gamma: 1; e BR = p sen. gamma. III. BQ = p cos.. gamma, come apparisce dal valore di BR.
      Per conseguenza, sostituendo questi valori nella formula tang. alfa = BR / BQ + QM , avremo
     
      tang. alfa = p.sen. gamma/q + p cos. gamma
      .
      Dichiarazione. La legittimità della proposta soluzione, che non à bisogno di essere dimostrata, apparirà più chiara per le seguenti applicazioni.
      I. Sia gamma = 0°. Sarà cos. gamma = 1; e però r2 = p2 + q2 + 2pq, ossia [vedi fig. mat005.gif]. Inoltre sarà sen. gamma = 0; e quindi tang. alfa= p / q + p x 1. Il che significa che la risultante sarà uguale alla somma delle componenti, come avevamo richiesto (3. I. 3a) per postulato, e si troverà sulla loro direzione comune. II. Si faccia gamma = 180°. Avremo cos. gamma = -1; e perciò [vedi fig. mat006.gif]. Di più sen. gamma= 0, e però alfa = 0°. Dunque la risultante di due forze diametralmente opposte è uguale, come domandammo (3. I. 4°) per postulato, alla differenza loro; agisce sulla loro comune direzione, e nel senso della maggiore. III. Poniamo gamma = 90°. In tal caso cos. gamma= 0, ed r= [vedi fig. mat007.gif]. Oltracciò tang. alfa= p / q + p x 0 = p / q. IV. In questo stesso caso se inoltre sia p = q, sarà [vedi fig. mat008.gif].