Nè più difficile sarebbe mostrare come la stessa curva si adatti pure al cono descritto nella Prop. VI.
      COROLL. IV ; IN QUESTO CASO SI VEDREBBE, COME IL VERTICE DEL CONO ESSENDO IN O, OGNUNA DELLE DUE FALDE OPPOSTE DEL CONO DÀ ORIGINE AD UNO DEI DUE LOBI DELLA CURVA, E COME L’ANGOLO SOTTO CUI LA CURVA TAGLIA SÈ MEDESIMA IN O, È UGUALE ALL’ANGOLO AL VERTICE DEL CONO, CIOÈ ALL’INCLINAZIONE.
     
      Queste poche e sempli cissime proposizioni, in cui veramente più nella sostanza che nella forma ho cercato di serbare il carattere dell’antica geometria, danno il modo di giungere alla costruzione della curva descritta dal pianeta, alla quale per la sua forma daremo il nome di lemniscata sferica; ed offrono anche già un breve quadro di alcune sue principali proprietà83. Credo inutile accrescerne il numero, prima perchè questi fiorellini di geometria oggi non presentano più l’interesse d’una volta, e dai matematici, occupati intorno al tronco ed alle radici dell’albero della scienza, si abbandonano alla coltura dei principianti; ma sovratutto perchè ampiamente già è ottenuto il nostro scopo di provare, che a quella costruzione e a quelle proprietà si può giungere brevemente e facilmente, col soccorso di una geometria molto più elementare di quella che siamo in diritto di attribuire ad Eudosso, e senza far alcun uso di metodi moderni. Verrò ora ad indicare in qual modo è credibile che se ne sia fatto uso per spiegare quei fenomeni dei pianeti, che si collegano coll’anomalia solare.
      RITORNIAMO PER QUESTO ALLA CONSIDERAZIONE DELLE QUATTRO SFERE, CHE, SECONDO ARISTOTELE E SIMPLICIO, EUDOSSO ATTRIBUIVA A CIASCUN PIANETA; ED INVECE DI LASCIAR FISSO L’ASSE AB (FÌG. 3), IMMAGINIAMONE APPOGGIATI I POLI SULLA SECONDA DELLE SFERE DI EUDOSSO, IN MODO CHE QUESTI POLI PERCORRANO IL CIRCOLO DELL’ECLITTICA IN UN TEMPO UGUALE ALLA RIVOLUZIONE ZODIACALE DEL PIANETA. SUPPONIAMO DI PIÙ, CHE IL CIRCOLO FONDAMENTALE AOB COINCIDA COSTANTEMENTE COL CIRCOLO DELL’ECLITTICA. ALLORA IL PUNTO O, CHE È IL CENTRO DELLA NOSTRA LEMNISCATA SFERICA, SI TROVERÀ SULL’ECLITTICA, E L’ASSE LONGITUDINALE DELLA LEMNISCATA (CIOÈ IL CIRCOLO MASSIMO CHE NE UNISCE GLI APSIDI ESTREMI) COINCIDERÀ PURE CON QUESTO CIRCOLO; ED IL PUNTO O, DEL PARI CHE A E B, DESCRIVERÀ CON MOTO UNIFORME IN UNA RIVOLUZIONE ZODIACALE TUTTO IL CIRCOLO DELL’ECLITTICA, TRASCINANDO SECO LA LEMNISCATA. NOI POTREMO ORA, SENZA TURBARE IL MOVIMENTO DEL PIANETA, SURROGARE ALLA TERZA ED ALLA QUARTA SFERA LA LEMNISCATA, SULLA QUALE IL PIANETA SI MUOVE SECONDO LE REGOLE QUI SOPRA SVILUPPATE. COMPONENDO DUNQUE QUESTO MOTO DEL PIANETA SULLA LEMNISCATA COL MOVIMENTO PROGRESSIVO DELLA LEMNISCATA STESSA LUNGO L’ECLITTICA, AVREMO IL MOVIMENTO COMPOSTO DEL PIANETA NELLA FASCIA ZODIACALE. ORA IL MOTO DELLA LEMNISCATA LUNGO LO ZODIACO È UNIFORME, E LA SUA VELOCITÀ È TALE, DA FARLE PERCORRERE TUTTA L’ECLITTICA NEL TEMPO DELLA RIVOLUZIONE ZODIACALE DEL PIANETA, ED È SEMPRE NEL MEDESIMO SENSO, CIOÈ SECONDO L’ORDINE DEI SEGNI. AL CONTRARIO, IL CORSO DEL PIANETA SULLA LEMNISCATA SI TRADUCE IN UNA OSCILLAZIONE PERIODICA D’ANDATA E RITORNO, DI CUI LA LEGGE È STATA DEFINITA NELLA PROP. IV. L’INTIERO CICLO DI QUELLA OSCILLAZIONE SI FA NEL TEMPO ASSEGNATO DA EUDOSSO ALLA RIVOLUZIONE DELLA TERZA E DELLA QUARTA SFERA, CHE È IL TEMPO DELLA RIVOLUZIONE SINODICA. AD OGNI PERIODO SINODICO AVVERRÀ DUNQUE, CHE PER MEZZO PERIODO IL MOTO DEL PIANETA LUNGO L’ECLITTICA SARÀ ACCELERATO, SOMMANDOSI IL MOTO DELLA LEMNISCATA CON QUELLO DEL PIANETA LUNGO DI ESSA; E PER L’ALTRO MEZZO PERIODO IL PIANETA APPARIRÀ RITARDATO, CONTRASTANDO L’UNO ALL’ALTRO I DUE MOTI ORA ACCENNATI. ED ANZI, SE IN QUALCHE PARTE DELLA LEMNISCATA IL PIANETA NELL’OSCILLAZIONE RETROGRADA SI MOVERÀ PIÙ RAPIDAMENTE NEL SENSO DELLA LONGITUDINE DI QUANTO AVANZI LA LEMNISCATA COL SUO MOTO DIRETTO, IL MOTO RISULTANTE DEL PIANETA SARÀ RETROGRADO DURANTE UN CERTO INTERVALLO, E SI AVRÀ UNA RETROGRADAZIONE COMPRESA FRA DUE STAZIONI. ED È MANIFESTO, CHE DA UNA PARTE, LA MASSIMA ACCELERAZIONE DEL PIANETA IN LONGITUDINE E DALL’ALTRA LA MASSIMA RITARDAZIONE O LA MASSIMA VELOCITÀ RETROGRADA AVRANNO LUOGO QUANDO IL PIANETA CORRERÀ PIÙ VELOCE NEL SENSO LONGITUDINALE, CIÒ CHE AVVIENE QUANDO ESSO PASSA PEL CENTRO O PUNTO DOPPIO DELLA LEMNISCATA. L’INSIEME DEI MOVIMENTI DOVRÀ DUNQUE ESSER COMBINATO IN MODO, CHE IL PIANETA SI RITROVI AL CENTRO DELLA LEMNISCATA E ABBIA SU DI ESSA MOVIMENTO DIRETTO, QUANDO SUCCEDE LA CONGIUNZIONE SUPERIORE, DOVE NOTORIAMENTE LA VELOCITÀ APPARENTE DEI MOTI PLANETARI IN LONGITUDINE È MASSIMA; ED OCCUPI IL MEDESIMO CENTRO E SIA RETROGRADO SULLA LEMNISCATA, QUANDO IL PIANETA È IN OPPOSIZIONE O IN CONGIUNZIONE INFERIORE, AI QUALI PUNTI RISPONDE LA RETROGRADAZIONE PIÙ VELOCE. MANIFESTAMENTE POI COTESTA COMBINAZIONE DI MOTO PROGRESSIVO E DI MOTO OSCILLATORIO IN LONGITUDINE SARÀ ACCOMPAGNATA DA UN CORRISPONDENTE MOTO IN LATITUDINE, IL QUALE POTRÀ ALLONTANARE IL PIANETA DALL’ECLITTICA DI TANTO, QUANTO IMPORTA LA MEZZA LARGHEZZA DELLA LEMNISCATA. QUESTO MOVIMENTO FARÀ GIUNGERE IL PIANETA DUE VOLTE AI LIMITI BOREALI E DUE VOLTE AI LIMITI AUSTRALI, E GLI FARÀ TRAVERSARE L’ECLITTICA QUATTRO VOLTE IN UNA RIVOLUZIONE SINODICA.