E, ciò che vale pei concetti, vale anche per i giudizi, che son composti di concetti, e per tutte le scienze. Dev'esser dunque possibile, in qualche modo, di conoscer direttamente, senza sillogismi e senza prove, ciascuna verità che sia stata trovata con sillogismi e comunicata con prove. La cosa è più difficile per certi complicati principi matematici, cui perveniamo solo attraverso catene di sillogismi, come per esempio il calcolo delle corde e delle tangenti per tutti gli archi, cui si perviene, per mezzo di sillogismi, dal teorema di Pitagora. Ma anche codesta verità non può poggiare sostanzialmente ed esclusivamente su principi astratti, e così le relazioni spaziali, che le servono di fondamento, devono poter esser ricavate con la pura intuizione a priori, in modo che la loro astratta enunciazione venga fondata direttamente. Ma della dimostrazione matematica si tratterà subito distesamente.
      Si parla spesso in tono enfatico di scienze, le quali poggiano esclusivamente su deduzioni esatte da sicure premesse, e quindi devono essere incrollabilmente vere. Ma con una serie puramente logica di deduzioni, siano pur vere le premesse quanto si voglia, non si otterrà mai altro che una maggior chiarezza e dimostrazione di ciò, che già si trova bell'e pronto nelle premesse: non si farà quindi che esporre explicite ciò che si trova implicite colà. Quelle scienze così vantate sono in ispecial modo le scienze matematiche, e soprattutto l'astronomia. Ma la certezza dell'astronomia proviene dal fatto, ch'ella ha per fondamento l'intuizione a priori, e quindi infallibile, dello spazio; mentre tutte le relazioni spaziali si svolgono l'una dall'altra con una necessità (principio dell'essere) che dà certezza a priori, e si posson quindi dedurre successivamente con sicurezza.